初中数学-分式知识点总结_

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初中数学分式知识点总览：初中数学分式基本概念，初中数学分式运算法则，分式方程（重点），初中数学分式方程应用题。
1、初中数学分式基本概念：
1）分式的定义：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。分式是不同于整式的一类代数式。当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
2）分式的判断条件：
1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
3）分式的基本性质：
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
（A,B,C为整式，且B、C≠0）
2、初中数学分式运算法则
1）分式的约分：
1.分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时，分子分母公因式的确定方法：
①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数。
②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式。
③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式。
2）分式的通分
1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质）
2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：
①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
④“两大类三类型”：通分“两大类”指的是：一是分母是单项式；二是分母是多项式。
“两大类”下的“三类型” ：“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型
i）“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积；
ii）“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母；
iii）“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式，也应包括相同的因式。
4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
3）分式的四则运算与分式的乘方
1.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减。
2.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算。
3.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母。
4.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘。
5.分式混合运算顺口溜：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键，找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
3、初中数学分式方程（重点）（小编推荐：初中数学必备-分式方程知识点总结）：
1.分式方程定义：指含分式，且分母中含有未知数的方程
2.解分式方程的步骤：
（1）能化简的先化简
（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
（3）解整式方程，得到整式方程的解。
（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
3.列分式方程基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。
4、初中数学分式方程应用题（小编推荐：初中数学必备-分式方程应用题题型）：
1.佳佳果品店在批发市场购*某种水果*，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元*，很快售完．由于水果畅销，第二次购*时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购*的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次*中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
考点： 分式方程的应用
分析： （1）设第一次购*的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购*用了1200元，第二次购*用了1452元，第一次购水果 ，第二次购水果 ，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：*水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题了．
解答： 解：（1）设第一次购*的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得： ﹣ =20，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克）．
第二次购水果200+20=220（千克）．
第一次赚钱为200×（8﹣6）=400（元）．
第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元）．
所以两次共赚钱400﹣12=388（元），
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次*水果总体上是赚钱了，共赚了388元．
课外辅导点评： 本题具有一定的综合性，应该把问题分成购*水果这一块，和*水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2.某校七年级准备购*一批笔记本奖励优秀学生，在购*时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购*的笔记本，打折后购*的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购*笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购*总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购*方案？
考点： 分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
分析： （1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购*的数量及打折后购*的数量，再由打折后购*的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；
（2）设购*笔记本y件，则购*笔袋（90﹣y）件，根据购*总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可．
解答： 解：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，
由题意得， +10= ，
解得：x=4，
经检验得：x=4是原方程的根，
答：打折前每本笔记本的售价为4元．
（2）设购*笔记本y件，则购*笔袋（90﹣y）件，
由题意得，360≤4×0.9×y+6×0.9×（90﹣y）≤365，
解得：67 ≤y≤70，
∵x为正整数，
∴x可取68，69，70，
故有三种购*方案：
方案一：购*笔记本68本，购*笔袋22个；
方案二：购*笔记本69本，购*笔袋21个；
方案三：购*笔记本70本，购*笔袋20个；
点评： 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系．

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