初中数学-勾股定理知识点总结-

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勾股定理是初中和高中均有涉及的重要知识点，因此各位同学必须对此初中数学勾股定理知识点的证明技巧和应用题能够得心应手。本篇初中数学勾股定理总览：勾股定理定义，勾股定理的证明技巧，勾股定理的适用范围，勾股定理的逆定理，勾股定理的应用。
１、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
2、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。其他方法入邪;
方法一：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4ab+c2=2ab+c2 大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2 所以a2+b2=c2
方法二：S梯形=(a+b)*(a+b)，S梯形=2S△ADE+S△ABE=2ab+c2，化简得证。
方法三：4S□+S□EFGH=S□ABCD，4ab+(b-a)2=c2，化简可证。
３、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
4、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+c2=b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时， 不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
5、 勾股定理考点剖析（重难点）
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算， 应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
考点一： 利用勾股定理求面积
求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．
2. 以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系。
考点二： 在直角三角形中，已知两边求第三边
例（15年上海）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（ ）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对
【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，7cm ，则斜边长为_______。
2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为4、5，则另一条边长的平方是_______。
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高。（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积）
考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高。
考点四：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
解题技巧： 如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。
考点五、 利用列方程求线段的长（方程思想）
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开4米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
【强化训练】：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB＝4cm,BC＝5cm,求CF 和EC。
考点六： 应用勾股定理解决勾股树问题
例、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为______。
分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题， 一个是正方形的边长与面积的关系，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边的关系。
考点七： 判别一个三角形是否是直角三角形
例1：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
【强化训练】：已知△ABC中，三条边长分别为a＝n－１， b＝2n， c＝n＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．
考点八：其他图形与直角三角形
考点九：与展开图有关的计算
【强化训练】：一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行____cm。

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